Troba dos nombres reals $p$ i $q$ que satisfacin:
$$ \begin{cases} p^2 + q^2 = 250 \\ p - q = 5 \end{cases} $$Ajuda't de les identitats notables.
Donat el sistema:
$$ \begin{cases} p^2 + q^2 = 250, \\ p - q = 5 \end{cases} $$Fem servir la identitat del quadrat d'una diferència:
$$ (p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2. $$Com que $p - q = 5$,
$$ (p - q)^2 = 5^2 = 25. $$Substituïm l'expressió desenvolupada:
$$ p^2 - 2pq + q^2 = 25. $$Restem aquesta igualtat de la dada $p^2 + q^2 = 250$:
$$ (p^2 + q^2) - (p^2 - 2pq + q^2) = 250 - 25. $$Això dóna:
$$ 2pq = 225 \quad\Rightarrow\quad pq = 112.5. $$Ara calculem $(p+q)^2$:
$$ (p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2. $$Substituint valors:
$$ (p+q)^2 = 250 + 2\cdot112.5 = 475. $$Per tant,
$$ p+q = \sqrt{475} = 5\sqrt{19}. $$Resolem el sistema lineal:
$$ \begin{cases} p+q = 5\sqrt{19},\\ p-q = 5. \end{cases} $$Calculem $p$:
$$ p = \frac{(p+q)+(p-q)}{2} = \frac{5\sqrt{19} + 5}{2} = \frac{5(\sqrt{19}+1)}{2}. $$Calculem $q$:
$$ q = \frac{(p+q)-(p-q)}{2} = \frac{5\sqrt{19} - 5}{2} = \frac{5(\sqrt{19}-1)}{2}. $$Solució final:
Si $x, y$ són nombres reals diferents que compleixen el sistema següent:
$$ \begin{cases} y + 4 = (x - 2)^2 \\ x + 4 = (y - 2)^2 \end{cases} $$Quant val $x^2 + y^2$?
Per demostrar la identitat, desenvoluparem el costat dret (CD) de l'equació. Si el resultat és igual al costat esquerre (CE), la identitat serà provada.
Costat Dret (CD):
$$ \left( ac-bd \right)^2 + \left(ad+bc \right)^2 $$Desenvolupem cadascun dels quadrats utilitzant la fórmula del quadrat d'un binomi: $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.
Primer quadrat:
$$ \left( ac-bd \right)^2 = (ac)^2 - 2(ac)(bd) + (bd)^2 = a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 $$Segon quadrat:
$$ \left( ad+bc \right)^2 = (ad)^2 + 2(ad)(bc) + (bc)^2 = a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2 $$Ara sumem ambdós resultats:
$$ \left( ac-bd \right)^2 + \left(ad+bc \right)^2 = (a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2) $$Observem que els termes centrals $\mathbf{-2abcd}$ i $\mathbf{+2abcd}$ s'anul·len mútuament:
$$ a^2c^2 \cancel{- 2abcd} + b^2d^2 + a^2d^2 \cancel{+ 2abcd} + b^2c^2 $$ $$ = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 $$Costat Esquerre (CE):
$$ \left(a^2+b^2 \right) \left( c^2 + d^2 \right) $$Desenvolupem el producte utilitzant la propietat distributiva:
$$ a^2(c^2) + a^2(d^2) + b^2(c^2) + b^2(d^2) $$ $$ = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $$Reordenant els termes del costat dret (CD) per facilitar la comparació:
$$ CD = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $$Com que el resultat del desenvolupament del **Costat Dret (CD)** és idèntic al **Costat Esquerre (CE)**,
$$ \left(a^2+b^2 \right) \left( c^2 + d^2 \right) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $$i
$$ \left( ac-bd \right)^2 + \left(ad+bc \right)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 $$queda demostrada la identitat.
$$\boxed{ \left(a^2+b^2 \right) \left( c^2 + d^2 \right) = \left( ac-bd \right)^2 + \left(ad+bc \right)^2 }$$