Apartat a Substituïm els vectors i realitzem les multiplicacions per escalar: $$3(-5, 8) - 2(-41, -10) + 10(3, 6)$$ $$(-15, 24) - (-82, -20) + (30, 60)$$ Ara sumem i restem les components corresponents: $$x = -15 - (-82) + 30 = -15 + 82 + 30 = 97$$ $$y = 24 - (-20) + 60 = 24 + 20 + 60 = 104$$ $$\boxed{3\vec{u} - 2\vec{v} + 10\vec{w} = (97, 104)}$$ Apartat b Plantegem l'equació amb les coordenades: $$a(-5, 8) + b(3, 6) = (-41, -10)$$ Obtenim el següent sistema d'equacions: $$\begin{cases} -5a + 3b = -41 \\ 8a + 6b = -10 \end{cases}$$ Podem resoldre per reducció. Multipliquem la primera equació per $-2$ per eliminar la $b$: $$\begin{cases} 10a - 6b = 82 \\ 8a + 6b = -10 \end{cases}$$ Sumem les dues equacions: $$18a = 72 \implies a = \frac{72}{18} \implies a = 4$$ Substituïm $a = 4$ en la segona equació per trobar $b$: $$8(4) + 6b = -10$$ $$32 + 6b = -10$$ $$6b = -10 - 32 \implies 6b = -42$$ $$b = \frac{-42}{6} \implies b = -7$$ Comprovació: $-5(4) + 3(-7) = -20 - 21 = -41$ (correcte). $$\boxed{a = 4, \quad b = -7}$$