Perpendicularitat de vectors

a)

Determina si els vectors $\vec{u} = (3, -2)$ i $\vec{v} = (4, 6)$ són perpendiculars en el pla $\mathbb{R}^2$.

Solució:

Dos vectors són perpendiculars si i només si el seu producte escalar és igual a zero: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y$$ Substituïm els valors: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (3 \cdot 4) + (-2 \cdot 6) = 12 - 12 = 0$$ Com que el producte escalar és $0$, els vectors són perpendiculars. $$\boxed{\text{Són perpendiculars}}$$

b)

Determina si els vectors $\vec{u} = \left(\frac{2}{3}, 4\right)$ i $\vec{v} = \left(6, -1\right)$ són perpendiculars.

Solució:

Calculem el producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\frac{2}{3} \cdot 6\right) + (4 \cdot (-1))$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{12}{3} - 4 = 4 - 4 = 0$$ Com que el producte escalar és $0$, es confirma l'ortogonalitat. $$\boxed{\text{Són perpendiculars}}$$

c)

Determina si els vectors $\vec{u} = \left(3, 7\right)$ i $\vec{v} = \left(6, 0\right)$ són perpendiculars.

Solució:

Per verificar si dos vectors són perpendiculars (ortogonals), comprovem si el seu producte escalar és nul ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$): $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y$$ Substituïm les coordenades dels vectors $(3, 7)$ i $(6, 0)$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (3 \cdot 6) + (7 \cdot 0)$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 18 + 0 = 18$$ Atès que el producte escalar és $18 \neq 0$, els vectors no són perpendiculars entre si. $$\boxed{\text{No són perpendiculars}}$$

d)

Troba el valor de $k$ perquè els vectors $\vec{a} = (k, 5)$ i $\vec{b} = (-2, 4)$ siguin perpendiculars.

Solució:

Imposem la condició de perpendicularitat $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$: $$(k \cdot (-2)) + (5 \cdot 4) = 0$$ $$-2k + 20 = 0$$ Aïllem la incògnita $k$: $$-2k = -20 \implies k = \frac{-20}{-2}$$ $$\boxed{k = 10}$$

e)

Donat el vector $\vec{w} = (-7, 3)$, troba un vector $\vec{z}$ que sigui perpendicular a $\vec{w}$ i que tingui la seva primera coordenada igual a $6$.

Solució:

Sigui $\vec{z} = (6, y)$. Perquè siguin perpendiculars, el producte escalar ha de ser nul: $$\vec{w} \cdot \vec{z} = 0$$ $$(-7 \cdot 6) + (3 \cdot y) = 0$$ $$-42 + 3y = 0$$ Resolem l'equació per a $y$: $$3y = 42 \implies y = \frac{42}{3} = 14$$ El vector buscat és: $$\boxed{\vec{z} = (6, 14)}$$

f)

Troba el valor de $x$ perquè els vectors $\vec{a} = (x, 2)$ i $\vec{b} = (3, x-10)$ siguin perpendiculars.

Solució:

Apliquem la condició $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$: $$(x \cdot 3) + (2 \cdot (x - 10)) = 0$$ $$3x + 2x - 20 = 0$$ $$5x = 20 \implies x = \frac{20}{5}$$ $$\boxed{x = 4}$$

g)

Troba un vector $\vec{u} = (x, y)$ que sigui perpendicular a $\vec{v} = (1, -1)$ i que sigui unitari (mòdul igual a $1$). Considera la solució on la primera coordenada sigui positiva.

Solució:

1. Condició de perpendicularitat: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \implies (x \cdot 1) + (y \cdot (-1)) = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y$$ 2. Condició de mòdul igual a 1: $$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \implies x^2 + y^2 = 1$$ Substituïm $y = x$ en l'equació del mòdul: $$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$$ Com que l'enunciat demana la coordenada positiva: $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ i, per tant, $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Racionalitzant: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$\boxed{\vec{u} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$$

h)

Troba un vector $\vec{w}$ que sigui perpendicular a $\vec{a} = (3, 4)$ i que tingui un mòdul igual a $10$.

Solució:

1. Un vector perpendicular genèric a $(3, 4)$ s'obté intercanviant coordenades i canviant un signe: $\vec{w}_p = (-4, 3)$. 2. Calculem el mòdul d'aquest vector $\vec{w}_p$: $$|\vec{w}_p| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ 3. Perquè el mòdul sigui $10$ (el doble de $5$), multipliquem el vector $\vec{w}_p$ per l'escalar $k = \frac{10}{5} = 2$: $$\vec{w} = 2 \cdot (-4, 3) = (-8, 6)$$ Comprovació: $\vec{w} \cdot \vec{a} = (-8 \cdot 3) + (6 \cdot 4) = -24 + 24 = 0$ i $|\vec{w}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = 10$. $$\boxed{\vec{w} = (-8, 6)}$$