Equació vectorial

a)

Determina tres punts de la recta donada en forma vectorial: $(x,y) = (1,2) + t(4,-1)$.

Solució:

Per trobar punts de la recta, només cal donar valors qualssevol al paràmetre $t$:

Si $t = 0 \implies (x,y) = (1,2) + 0(4,-1) = (1,2)$
Si $t = 1 \implies (x,y) = (1,2) + 1(4,-1) = (1+4, 2-1) = (5,1)$
Si $t = -1 \implies (x,y) = (1,2) - 1(4,-1) = (1-4, 2+1) = (-3,3)$

$$\boxed{P_1=(1,2), P_2=(5,1), P_3=(-3,3)}$$

b)

Determina tres punts de la recta donada en forma vectorial: $(x,y) = (2,0) + t(3,5)$.

Solució:

Donem valors al paràmetre $t$:

Si $t = 0 \implies (2,0)$
Si $t = 1 \implies (2+3, 0+5) = (5,5)$
Si $t = 2 \implies (2+6, 0+10) = (8,10)$

$$\boxed{P_1=(2,0), P_2=(5,5), P_3=(8,10)}$$

c)

Donats els punts $A=(-1,7)$ i $B=(0,1)$, calcula el vector director de la recta que passa per $A$ i $B$ i troba l'equació vectorial d'aquesta recta.

Solució:

1. El vector director $\vec{v}$ s'obté restant les coordenades dels punts $B$ i $A$: $$\vec{v} = \vec{AB} = B - A = (0 - (-1), 1 - 7) = (1, -6)$$ 2. L'equació vectorial utilitza un punt (per exemple, el punt $A$) i el vector director trobat: $$(x,y) = A + t\vec{v}$$ $$(x,y) = (-1,7) + t(1,-6)$$ $$\boxed{\vec{v}=(1,-6); \text{ Eq: } (x,y)=(-1,7)+t(1,-6)}$$

d)

Determina si el punt $P(9, -2)$ pertany a la recta que té per equació vectorial $(x, y) = (1, 2) + t(4, -2)$.

Solució:

Perquè el punt $P(9, -2)$ pertanyi a la recta, ha d'existir un valor del paràmetre $t$ que satisfaci la igualtat: $$(9, -2) = (1, 2) + t(4, -2)$$ Separem l'equació en les seves dues components:

Component $x$: $9 = 1 + 4t \implies 8 = 4t \implies t = 2$
Component $y$: $-2 = 2 - 2t \implies -4 = -2t \implies t = 2$

Com que en ambdós casos obtenim el mateix valor de $t$, el punt es pot generar mitjançant l'equació vectorial. $$\boxed{P(9, -2) \text{ pertany a la recta}}$$

e)

Considera la recta amb equació vectorial $(x, y) = (-3, 5) + t(2, 3)$. Troba el valor de l'ordenada $k$ perquè el punt $Q(7, k)$ sigui un punt d'aquesta recta.

Solució:

1. Utilitzem la coordenada $x$ coneguda del punt $Q$ per trobar el valor de $t$: $$7 = -3 + 2t$$ $$7 + 3 = 2t \implies 10 = 2t \implies t = 5$$ 2. Ara que sabem que per a aquest punt el paràmetre és $t = 5$, substituïm aquest valor en l'equació de la coordenada $y$ per trobar $k$: $$k = 5 + t(3)$$ $$k = 5 + 5(3)$$ $$k = 5 + 15 = 20$$ El valor buscat és: $$\boxed{k = 20} \implies Q(7, 20) $$