1. Trobar el vector director de la recta $r$:

La recta ve donada com a intersecció de dos plans. El seu vector director $\vec{v_r}$ és el producte vectorial dels vectors normals d'aquests dos plans: $\vec{n_1} = (2, -1, 3)$ i $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$. $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculem els determinants dels menors:

• Component $x$: $( -1 \cdot 1 ) - ( 0 \cdot 3 ) = -1$
• Component $y$: $-( ( 2 \cdot 1 ) - ( 1 \cdot 3 ) ) = -(-1) = 1$
• Component $z$: $( 2 \cdot 0 ) - ( 1 \cdot (-1) ) = 1$

Així doncs, $\vec{v_r} = (-1, 1, 1)$.

2. Determinar el pla perpendicular a $r$:

Si el pla és perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta serà el vector normal del pla ($\vec{n_\pi}$): $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (-1, 1, 1)$$ L'equació del pla serà de la forma $-1x + 1y + 1z + D = 0$.

3. Trobar el valor de $D$ amb el punt $P(1, 0, -1)$:

Substituïm les coordenades de $P$ en l'equació del pla: $$-1(1) + 1(0) + 1(-1) + D = 0$$ $$-1 + 0 - 1 + D = 0$$ $$-2 + D = 0 \implies D = 2$$ L'equació general del pla és $-x + y + z + 2 = 0$. També es pot expressar multiplicant tota l'equació per $-1$: $$\boxed{x - y - z - 2 = 0}$$