1. Vector normal del pla

Si un pla és perpendicular a una recta, el vector director de la recta ($\vec{v_r}$) és el vector normal del pla ($\vec{n_{\pi}}$). De les equacions paramètriques de $r$, n'extraiem el vector director:

$$\vec{n_{\pi}} = \vec{v_r} = (2, 2, 1)$$

Per tant, l'equació general de qualsevol pla perpendicular a $r$ tindrà la forma:

$$2x + 2y + z + D = 0$$

2. Aplicació de la distància del punt al pla

Sabem que la distància del punt $P(3, 2, 3)$ al pla ha de ser igual a 1 unitat. Utilitzem la fórmula de la distància d'un punt a un pla:

$$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 1$$

Substituïm els valors del punt $P(3, 2, 3)$ i els coeficients del pla $(2, 2, 1)$:

$$\frac{|2(3) + 2(2) + 1(3) + D|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = 1$$ $$\frac{|6 + 4 + 3 + D|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = 1 \implies \frac{|13 + D|}{\sqrt{9}} = 1 \implies \frac{|13 + D|}{3} = 1$$ $$|13 + D| = 3$$

3. Càlcul del paràmetre $D$

Aquesta equació amb valor absolut ens dóna dues possibilitats (dos plans paral·lels, un a cada costat del punt):

• Cas 1: $13 + D = 3 \implies D = 3 - 13 \implies D_1 = -10$
• Cas 2: $13 + D = -3 \implies D = -3 - 13 \implies D_2 = -16$

Solució Final

Hi ha dos plans que compleixen les condicions de l'enunciat:

$$\boxed{\pi_1 : 2x + 2y + z - 10 = 0}$$ $$\boxed{\pi_2 : 2x + 2y + z - 16 = 0}$$