1. Extracció de punts i vectors directors

Extraiem la informació bàsica de cada recta:

• Recta $r$: Punt $A(2, 2, m)$ i vector director $\vec{u} = (2, 2, 3)$.
• Recta $s$: Punt $B(3, 2, 6)$ i vector director $\vec{v} = (2, -3, -2)$.
• Vector entre rectes: $\vec{AB} = B - A = (3-2, 2-2, 6-m) = (1, 0, 6-m)$.

2. Comprovació de la posició relativa

Calculem el producte vectorial dels vectors directors per veure si són paral·leles:

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -2 \end{vmatrix} = (-4+9)\mathbf{i} - (-4-6)\mathbf{j} + (-6-4)\mathbf{k} = (5, 10, -10)$$

Com que el producte vectorial no és nul, les rectes es creuen o es tallen. Perquè la distància sigui 3, s'han de creuar.

3. Aplicació de la fórmula de la distància

La distància entre dues rectes que es creuen es calcula mitjançant el volum del parat·lelepípede format pels vectors:

$$d(r, s) = \frac{|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = 3$$

• Producte mixt: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 6-m \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -2 \end{vmatrix} = 1(-4+9) + (6-m)(-6-4) = 5 - 10(6-m) = 5 - 60 + 10m = 10m - 55$
• Mòdul del producte vectorial: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15$

4. Resolució de l'equació

$$\frac{|10m - 55|}{15} = 3 \implies |10m - 55| = 45$$

Això ens dóna dues possibles solucions:

1. $10m - 55 = 45 \implies 10m = 100 \implies m_1 = 10$
2. $10m - 55 = -45 \implies 10m = 10 \implies m_2 = 1$

La solució final és:

$$\boxed{m = 10 \quad \text{o} \quad m = 1}$$