4ESO - Polinomis

Exercicis i problemes de polinomis de 4t ESO.

Bloc 1

1. Valor numèric SOLUCIÓ

a)
Donat el polinomi $P(x) = 2x^2 + 3x - 5$, calcula $P(3)$.
b)
Donat el polinomi $P(x) = x^3 - 4x + 2$, calcula $P(-2)$.
c)
Donat el polinomi $P(x) = -x^2 + 6x - 1$, calcula $P(0)$.
d)
Donat el polinomi $P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7$, calcula $P(1)$.
e)
Donat el polinomi $P(x) = 4x^2 - 9x + 10$, calcula $P(-1)$.
f)
Donat el polinomi $P(x) = \tfrac{1}{2}x^2 - 3x + 4$, calcula $P(4)$.
g)
Donat el polinomi $P(x) = x^4 - 2x^3 + x - 8$, calcula $P(2)$.
h)
Donat el polinomi $P(x) = -3x^3 + x^2 + 2x - 5$, calcula $P(-3)$.
i)
Donat el polinomi $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$, calcula $P(0)$.
j)
Donat el polinomi $P(x) = 7x^2 - 4x + \tfrac{5}{2}$, calcula $P(-2)$.

2. Suma i resta de polinomis SOLUCIÓ

Donats els polinomis següents: $$ P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 $$ $$ Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 3x + 2 $$ $$ R(x) = 2x^2 - x + 1 $$ Recorda: Quan sumes o restes polinomis, agrupa els termes semblants (mateix exponent). Si un terme no apareix en algun polinomi, considera el seu coeficient com a 0.
a)
Calcula $P(x) + Q(x)$
b)
Calcula $P(x) - Q(x)$
c)
Calcula $P(x) + Q(x) - R(x)$
d)
Calcula $2P(x) - 3Q(x) + R(x)$
e)
Calcula $Q(x) - P(x)$

3. Producte de polinomis SOLUCIÓ

Donats els polinomis següents: $$ P(x) = 2x^2 - 3x + 1 $$ $$ Q(x) = x - 4 $$ $$ R(x) = x^2 + x - 2 $$ Recorda: Per multiplicar polinomis, aplica la propietat distributiva: cada terme del primer polinomi es multiplica per cada terme del segon, i després agrupa els termes semblants (mateix exponent).
a)
Calcula $P(x) \cdot Q(x)$
b)
Calcula $Q(x) \cdot R(x)$
c)
Calcula $P(x) \cdot R(x)$
d)
Calcula $P(x) \cdot Q(x) \cdot R(x)$

4. Operacions amb polinomis SOLUCIÓ

Opera amb els polinomis i simplifica
a)
$(x+3)^2 - (x+2)(x-2) =$
b)
$2x(3x+3) - 3x^2(4x+5) =$
c)
$(x^3-2)(1+x) - (2x+5)(x^2-3x+7) =$
d)
$\left(\tfrac{1}{2}-x\right)^2 + \left(\tfrac{1}{2}+x\right)^2 =$
e)
$\left( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{4}{5}x - \frac{5}{4} \right) \cdot 12x^2 =$

5. Extreure factor comú SOLUCIÓ

a)
Extreu el factor comú de $6x^3 + 9x^2$
b)
Extreu el factor comú de $4x^2y - 8xy^2$
c)
Extreu el factor comú de $5a^3b - 10a^2b^2 + 15ab^3$
d)
Extreu el factor comú de $12x^4y^2 - 8x^3y^3 + 20x^2y^4$
e)
Extreu el factor comú de $9x^5y^2 - 6x^3y^4 + 3x^2y^5$
f)
Extreu el factor comú de $4x^2 - 6x + 2x^3$
g)
Extreu el factor comú de $12x^4y^2 + 6x^2y^4 - 15x^3y$
h)
Extreu el factor comú de $-3xy - 2xy^2 - 10x^2yz$
i)
Extreu el factor comú de $-3x + 6x^2 + 12x^3$

6. Identitats notables SOLUCIÓ

Expandeix els següents polinomis utilitzant les identitats notables:

Recorda les identitats notables més habituals:

  • Quadrat d'una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • Quadrat d'una diferència: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  • Producte de suma per diferència: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
a)
Expandeix $(x + 5)^2$
b)
Expandeix $(x + 4)(x - 4)$
c)
Expandeix $(5x+4)^2$
d)
Expandeix $(2y - 3)^2$
e)
Expandeix $(a + 2b)^2$
f)
Expandeix $(2x-5)^2$
g)
Expandeix $(2a-\tfrac{5}{3})^2$
h)
Expandeix $(\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x}{3})^2$

7. Divisió de polinomis SOLUCIÓ

Realitzeu les següents divisions de polinomis. Indiqueu el quocient $Q(x)$ i el residu $R(x)$.

a)
$\frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{x - 2}$
b)
$ \frac{4x^4 + 3x^2 - 5x + 1}{x^2 - 2x + 1} $
c)
$ \frac{3x^5 + x^4 - 2x^2 - 8}{x^2 + 4} $
d)
$\frac{4x^4 + x^3 - x + 1}{2x^2 - 1}$
e)
$\frac{x^4 - x^3 + x}{2x^2 - 1}$

8. Divisions amb Ruffini SOLUCIÓ

Utilitzeu la Regla de Ruffini per realitzar les següents divisions. Recordeu que el divisor es pot reescriure com $x - a$:

a)
$ \frac{2x^4 + x^3 - 8x^2 + 4x - 1}{x + 3} $
b)
$ \frac{x^3 + 5x^2 - 10x - 24}{x - 3} $
c)
$ \frac{2x^4 + x^2 - 6x - 1}{x + 1} $
d)
$ \frac{x^5 - 3x^4 + 2x^3 + 4x^2 - 6x + 5}{x - 2} $

Bloc 2

9. Valor numèric (II) SOLUCIÓ

a)
Trobeu el valor de $k$ per a $P(x) = 2x^2 - 6x - k$ si sabem que $P(1) = 7$.
b)
Trobeu el valor de $k$ per a $P(x) = -2x^4 - 6x^3 + 5x - k$ si sabem que $P(-2) = 35$.
c)
Trobeu el valor de $k$ per a $P(x) = x^2+kx-1$ si sabem que $P(-1) = 2$.

10. Operacions amb polinomis (II) SOLUCIÓ

a)
$ \left(2x^2+x+\tfrac{3}{2}\right) \left(2x^2-3\right) + 8x + \tfrac{7}{2} $
b)
$ \left(3x^3+\tfrac{5x^2}{2}-3x+13\right)(2x^2+2) - \left(6x+24\right) $
c)
$ \left( 3x^2 - 6x + 1 \right) \left(x^3-\tfrac{2x}{3}+2\right) + \tfrac{14x}{3} $
d)
$ \tfrac{-x}{3}+\tfrac{1}{3} + \left( 2x^2 - \tfrac{x}{3} - \tfrac{2}{3} \right) \left(3x^2+2\right) $

11. Factorització de polinomis SOLUCIÓ

Factoritza els següents polinomis:
a)
$P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$
b)
$Q(x) = x^4 - 8x^3 + 17x^2 + 2x - 24$
c)
$R(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$
d)
$S(x) = 6x^4 + x^3 - 25x^2 - 4x + 4$

12. Factorització amb Ruffini SOLUCIÓ

Utilitzant la Regla de Ruffini, factoritza els següents polinomis:
a)
$x^2 - x - 12$
b)
$x^2 - x - 2$
c)
$x^2 + 2x - 15$
d)
$x^3 + 3x^2 - x - 3$
e)
$x^3 + 4x^2 + 5x + 2$
f)
$x^3 + x^2 - 9x - 9$
g)
$x^3 + x^2 - 5x + 3$
h)
$x^3 + 7x^2 + 7x - 15$
i)
$x^3 + 2x^2 - 5x - 6$
j)
$x^3 - 2x^2 - 4x + 8$
k)
$x^3 + x^2 - 8x - 12$
l)
$2x^3 + 16x^2 + 34x + 20$
m)
$2x^4 + 10x^3 - 8x^2 - 40x$

13. Factorització amb identitats notables SOLUCIÓ

Treient factor comú i utilitzant les identitats notables, factoritza els següents polinomis:
a)
$3x^5 + 6x^4$
b)
$7x^6 - 28x^4$
c)
$12x^4 - 6x^3$
d)
$2x^4 + 8x^3 + 8x^2$
e)
$-3x^3 + 18x^2 - 27x$
f)
$4x^4 - 8x^3 + 4x^2$
g)
$5x^3 - 45x$
h)
$-3x^5 + 48x^3$
i)
$3x^4 + 30x^3 + 75x^2$
j)
$-5x^5 - 30x^4 - 45x^3$

14. Simplificació de fraccions algebraiques SOLUCIÓ

Simplifica les següents fraccions algebraiques al màxim, factoritzant prèviament el numerador i el denominador:

a)
$ \frac{4x^2 - 8x}{4x} $
b)
$ \frac{x^2 - 36}{x + 6} $
c)
$ \frac{x^2 + 2x + 1}{2x + 2} $
d)
$ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} $
e)
$ \frac{x^3 - x}{x^2 + x} $
f)
$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} $
g)
$ \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} $
h)
$ \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^2 - 3x + 2} $

15. MCM de polinomis SOLUCIÓ

Calcula el MCM dels polinomis que s'indiquen
a)
$4x^2$, $6x^3$ i $8x$
b)
$12x^2y$ i $18xy^2$
c)
$x^2 - 25$ i $x^2 + 5x$
d)
$x^2 - 1$ i $x^2 - 2x + 1$
e)
$3x + 3$, $3x - 3$ i $6x$
f)
$x^2 + 3x + 2$ i $x^2 - 4$
g)
$x^2 - 9$, $x^2 + 6x + 9$ i $x^2 - 3x$
h)
$x^3 - 4x$ i $x^3 - 4x^2 + 4x$

Bloc 3

16. Potència d'un binomi SOLUCIÓ

Desenvolupa aquestes potències.

Recorda: Per desenvolupar una potència de binomi $(a+b)^n$, pots utilitzar la fórmula del binomi de Newton.

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n}b^n$$

Els coeficients de cada terme del desenvolupament corresponen als nombres de la fila $n$ del Triangle de Tartaglia (o Triangle de Pascal).

a)
$\left(x+y\right)^5 $
b)
$\left(x+1\right)^4$
c)
$\left(2x-2\right)^3$
d)
$\left(3x^2-y\right)^4$
e)
$\left(x^2-y\right)^5$
f)
$\left(-x+3y\right)^3$

17. Problemes de polinomis SOLUCIÓ

a)
Calculeu el valor de $m$ perquè el residu de la divisió següent sigui $13$. $$(2x^3-5x+7):(x-m)$$
b)
Trobeu el valor de $m$ perquè el residu de la divisió següent sigui $-4$. $$(7x^3-5mx-2):(x+1)$$
c)
Quants punts $(x, y)$ amb coordenades enteres té aquesta corba? $$ y = \frac{4x + 8}{x − 4} $$
d)

Troba dos nombres reals $p$ i $q$ que satisfacin:

$$ \begin{cases} p^2 + q^2 = 250 \\ p - q = 5 \end{cases} $$

Ajuda't de les identitats notables.

e)

Si $x, y$ són nombres reals diferents que compleixen el sistema següent:

$$ \begin{cases} y + 4 = (x - 2)^2 \\ x + 4 = (y - 2)^2 \end{cases} $$

Quant val $x^2 + y^2$?

f)
Demostreu que $$ \left(a^2+b^2 \right) \left( c^2 + d^2 \right) = \left( ac-bd \right)^2 + \left(ad+bc \right)^2 $$

18. Suma i resta de fraccions algebraiques SOLUCIÓ

a)
$ \frac{3x+5}{x-1} - \frac{x+7}{x-1} $
b)
$ \frac{2}{3x} + \frac{5}{x^2} $
c)
$ \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1} $
d)
$ \frac{3}{x^2+2x} + \frac{2}{x} $
e)
$ \frac{1}{x-3} - \frac{6}{x^2-6x+9} $
f)
$ \frac{x+1}{x-1} + \frac{3}{x+1} - \frac{x^2+3}{x^2-1} $
g)
$ \frac{x}{x^2-1} + \frac{3}{x^3 - 2x^2 - x + 2} $
h)
$ \frac{x}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6} - \frac{1}{x^2 - 4x + 3} $
🖨️ Versió imprimible ✏️ Edita